已知函数f(x)=4x^3+3tx^2-6tx+t-1 .x属于R,t属于R

题目

已知函数f(x)=4x^3+3tx^2-6tx+t-1 .x属于R,t属于R
(1)当t不等于0时 求f(x)单调区间
(2)证明：对任意的t属于（0,正无穷）,f(x)在（0,1）内均存在零点

答案

先对f(x)求导得12x^2+6tx-6t^2
令导数为0 -t,t/2
讨论t的正负
1）当t>0时,减区间为：（-t,t/2）；增区间为：t/2到正无穷大和负无穷到-t
2）证明：由（II）可知,当t＞0时,f（x）在（0,t／2）内单调递减,在（t／2,+∞）内单调递增,以下分两种情况讨论：
（1）当t／2≥1,即t≥2时,f（x）在（0,1）内单调递减．
f（0）=t-1＞0,f（1）=-6t 2 +4t+3≤-13＜0
所以对于任意t∈[2,+∞）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．
（2）当0＜t／2＜1,即0＜t＜2时,f（x）在（0,t／2）内单调递减,在（t／2,1）内单调递增
若t∈（0,1],f（t／2）=7／4t^3+t-1≤7／4t^3＜0,
f（1）=）=-6t 2 +4t+3≥-2t+3＞0
所以f（x）在（t／2,1）内存在零点．
若t∈（1,2）,f（t／2）=7／4t^3+t-1＜7／4t^3+1＜0,
f（0）=t-1＞0∴f（x）在（0,t／2）内存在零点．
所以,对任意t∈（0,2）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．
综上,对于任意t∈（0,+∞）,f（x）在区间（0,1）内均存在零点．