求曲线z=根号(4-x^2-y^2)与z=根号3(x^2+y^2)所围立体体积

题目

求曲线z=根号(4-x^2-y^2)与z=根号3(x^2+y^2)所围立体体积

答案

求曲面z=√(4-x²-y²)与z=√[3(x²+y²)]所围立体体积
曲面z=√(4-x²-y²)是顶点在原点,半径R=2的球面x²+y²+z²=4的上半部分；曲面z=√[3(x²+y²)]
是顶点在原点,以z轴正向为轴线的锥顶朝下的锥面；
令√(4-x²-y²)=√[3(x²+y²)],得4-x²-y²=3(x²+y²),化简得x²+y²=1,z=√3；即球面与锥面的交线是
一个距xoy平面的距离为√3,圆心在z轴上,且半径=1的圆；因此这两个曲面所围体积是一个圆
锥与一个球缺(球缺底面半径r=1,球面半径R=2,高度h=2-√3)的体积之和,即：
V=(1/3)π×1²×√3+(1/6)π×(2-√3)²[2-(2-√3)/3]=(√3/3)π+[(16-9√3)/18]π=(8/9-√3/6)π