设函数f(x)=lnx+a/2x2-(a+1)x(a为常数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间; (2)当x>1时,若f(x)<a/2x2-x-a,求a的取值范围.

设函数f(x)=lnx+a/2x2-(a+1)x(a为常数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间; (2)当x>1时,若f(x)<a/2x2-x-a,求a的取值范围.

题目
设函数f(x)=lnx+
a
2
答案
定义域为:(0,+∞),
(1)当a=2时,f′(x)=
1
x
+2x−3
=
2x2−3x+1
x
=
(2x−1)(x−1)
x

当f′(x)>0时,0<x<
1
2
或x>1,当f′(x)<0时,x<0或
1
2
<x<1

∴f(x)的单调增区间为:(0,
1
2
)和(1,+∞),单调减区间为:(-∞,0)和(
1
2
,1);
(2)f(x)<
a
2
x2-x-a即lnx+
a
2
x2-(a+1)x<
a
2
x2-x-a,∴lnx-ax+a<0,
令g(x)=lnx-ax+a,x∈(1,+∞),g′(x)=
1
x
−a
=
1−ax
x

①当a≤0时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,又g(e)=1-ae+a=1+a(1-e)>0,∴g(x)<0不恒成立;
②当a≥1时,g′(x)=
1
x
−a
<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,g(x)<g(1)=-a+a=0,满足题意;
③当0<a<1时,由g′(x)=
1
x
−a
>0得,x<
1
a
,∴g(x)在(1,
1
a
)上单调递增,
由g′(x)=
1
x
−a
<0得,x>
1
a
,∴g(x)在(
1
a
,+∞)上单调递减,
∴g(x)≤g(
1
a
)=ln
1
a
-1+a=a-lna-1,令h(a)=a-lna-1,a∈(0,1),
h′(a)=1-
1
a
>0,∴h(a)单调递增,∴h(a)<h(1)=0,
∴g(x)≤h(a)<0,此时满足题意;
综上得,a的取值范围为(0,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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