正数X,Y间插入一个数a,使X,a,Y成等差数列,插入两个数b,c.X,b,c,Y成等比数列,证（a+1)*(a+1)>=(b+1)(c+1)

题目

正数X,Y间插入一个数a,使X,a,Y成等差数列,插入两个数b,c.X,b,c,Y成等比数列,证（a+1)*(a+1)>=(b+1)(c+1)

答案

依题意得X+Y=2a,XY=bc,(a+1)^2-(b+1)(c+1)=(X^2+Y^2+2XY)/4+X+Y+1-XY-(b+c)-1=(X-Y)^2/4+X+Y-(b+c)=(X-Y)^2/4+X+Y-(b+c)=(X-Y)^2/4+X(1+q^3)-Xq(1+q)=(X-Y)^2/4+X(1+q)(1-q)^2≥0故（a+1)*(a+1)≥(b+1)(c+1)————...