设双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线I交两条渐近线于A,B两点,

题目

设双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线I交两条渐近线于A,B两点,
且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若向量OP=m*向量OA+n*向量OB（m,n属于R）,m*n=3/16,求该双曲线离心率为

答案

由题意可知A(c,bc/a),B(c,-bc/a)
代入OP=m*向量OA+n*向量OB
得
得P((m+n)c,(m-n)bc/a),代入双曲线方程
x²/a²-y²/b²=1
得
所以4e²*mn=1
∵mn=3/16
∴e²=4/3
e=2√3/3