1.已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上点,且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形

题目

1.已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上点,且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形
2.已知：在△ABC中,AB=AC,点E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结PC,求证：∠F=∠A

答案

1.已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上点,且△ACE是等边三角形.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD是正方形
(1)因为四边形ABCD是平行四边形
所以AO=CO
因为△ACE是等边三角形
所以AE=CE
因为EO=EO
所以△AOE≌△COE
所以∠AOE=∠COE
因为∠AOE+∠COE=180°
所以∠AOE=∠COE=90°,所以BE⊥AC（到这里会了吧）
（2）从上易得：△AOE是直角三角形
所以∠AED+∠EAO=90°
因为△ACE是等边三角形
所以∠EAO=60°,所以∠AED=30°
因为∠AED=2∠EAD
所以∠EAD=15°,所以∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°
因为四边形ABCD是菱形
所以∠BAD=2∠DAO=90°
2.已知：在△ABC中,AB=AC,点E是AB的中点,以点E为圆心,EB为半径画弧,交BC于点D,连结ED,并延长ED到点F,使DF=DE,连结PC,求证：∠F=∠A
连接AD,
∠BED=2∠BAD,∠BAC=2∠BAD.
∠BED=∠BAC,EF‖AC,DF=DE,BD=DC,∠EDA=∠CDE,
△BDE全等于△DFC,
∠F=∠BED,
∠A=∠F