如图,AB为圆O的直径,AD平分∠BAC交圆O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是圆OD的切线交AD的延长线于点F

题目

如图,AB为圆O的直径,AD平分∠BAC交圆O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,FB是圆OD的切线交AD的延长线于点F
（1）求证：DE是圆0的切线
（2）若DE=3,圆O的半径为5,求BF的长

答案

（1）由AD平分∠BAC,得到∠1=∠2,而OD=OA,∠2=∠3,所以∠1=∠3,则有OD∥AE,而DE⊥AC,所以OD⊥DE；
（2）过D作DP⊥AB,P为垂足,则DP=DE=3,由⊙O的半径为5,在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,再由BF⊥AB,得DP∥FB,有
DP
FB
=
AP
AB
,即可求出BF．
（1）证明：连OD,如图,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2（等弦对等角）,
又∵OD=OA,得∠2=∠3（等角对等边）,
∴∠1=∠3（等量代换）,
而DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线；
（2）过D作DP⊥AB,P为垂足,
∵AD为∠BAC的平分线,DE=3,
∴DP=DE=3,又⊙O的半径为5,
在Rt△OPD中,OD=5,DP=3,得OP=4,则AP=9,
∵BF⊥AB,
∴DP∥FB,
∴DP ：FB=AP：AB,即3：BF=9：10,
∴BF=10 ：3．