已知数列{an}满足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通项an．

题目

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2），求通项a_n．

答案

由已知可得：a_n+n=2（a_n-1+n-1）（n≥2）
令b_n=a_n+n，
则b₁=a₁+1=2，且b_n=2b_n-1（n≥2）
于是b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
即a_n+n=2ⁿ
故a_n=2ⁿ-n（n≥2），因为a₁=1也适合上述式子，
所以a_n=2ⁿ-n（n≥1）