设A是数域P上的n阶方阵,令W1={X∈P^n|(A-E)X=0},W2={X∈P^n|(A+E)X=0}.证明：P^n=W1＋W2的直和的充要条件是A^2=E

题目

设A是数域P上的n阶方阵,令W1={X∈P^n|(A-E)X=0},W2={X∈P^n|(A+E)X=0}.证明：P^n=W1＋W2的直和的充要条件是A^2=E

答案

充分性：（1）先证明P^n=W1+W2：对于任意的a属于P^n,令a1=1/2（E+A）a,a2=1/2（E-A）a,则（A-E）a1=1/2（A^2-E）a=0,（A+E）a2=1/2（E-A^2）a=0从而a1属于W1,a2属于W2而a1+a2=a由a的任意性可知：P^n=W1+W2（2）再证...