设a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）． （1）记OA=a，OB=tb，OC=1/3（a+b），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？ （2）若|a|=|b|=1且a与b夹角为120°，那么实数

题目

设

a

、

b

是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

答案

（1）∵A、B、C三点共线，∴

AB

=λ

AC

，∴-

a

+t

b

=λ（-

2

3

a

+

1

3

b

）=-

2

3

λ

a

+

1

3

λ

b

，
∴

−1＝− 2 3 λ t＝ 1 3 λ

，解得 t=

1

2

．
（2）∵|

a

|=|

b

|=1，＜

a

，

b

＞=120°，∴

a

•

b

=-

1

2

，
∴|

a

+x

b

|²=|

a

|²+x²|

b

|²-2x•

a

•

b

=1+x²+x=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴|

a

-x

b

|的最小值为

3

2

，此时x=

1

2

．