解关于x的不等式ax+1/x≥a+1(a∈R)．

题目

解关于x的不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)

答案

∵不等式ax+

1

x

≥a+1(a∈R)，
∴变形为

ax2−(a+1)x+1

x

≥0，
因式分解可得，

(ax−1)(x−1)

x

≥0，（*）
①当a=0时，（*）即为

x−1

x

≤0，解得0＜x≤1；
②当a≠0时，（*）即为

a(x− 1 a )(x−1)

x

≥0，
（i）当

1

a

＜0，即a＜0时，解得x≤

1

a

或0＜x≤1；
（ii）当

1

a

≥1，即0＜a≤1时，解得0＜x≤1或x≥

1

a

；
（iii）当

1

a

＜1，即a＞1时，解得0＜x≤

1

a

或x≥1．
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|0＜x≤1}，
当a＜0时，原不等式的解集为{x|x≤

1

a

或0＜x≤1}，
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|0＜x≤1或x≥

1

a

}，
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x≤

1

a

或x≥1}