设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝61． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求△ABC的面积．

题目

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝

61

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ）依题意，a＝4，b＝5，c＝

61

，
由余弦定理得cosC＝

42+52−( 61 )2

2×4×5

＝−

1

2

，
因为C为三角形的内角，即∠C∈（0，180°），
所以∠C=120°；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinC=sin120°=

3

2

，且b=5，a=4，
则三角形的面积S△ABC＝

1

2

b•a•sin120°＝

1

2

×5×4×

3

2

＝5

3

．（12分）

（Ⅰ）由余弦定理表示出cosC，把已知的三边长代入可求出cosC的值，由C为三角形的内角，得到C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；
（Ⅱ）由第一问求出的C的度数求出sinC的值，再由b和a的值，代入三角形的面积公式S=

1

2

absinC，计算可得三角形ABC的面积．

本题考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．

考点点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理、公式，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．