当x→0时，α（x）=kx2与β(x)＝1+xarcsinx−cosx是等价无穷小，则k=_．

题目

当x→0时，α（x）=kx²与β(x)＝

1+xarcsinx

−

cosx

是等价无穷小，则k=______．

答案

依题意，

lim

x→0

β(x)

α(x)

＝

lim

x→0

1+xarcsinx − cosx

kx2

=

lim

x→0

xarcsinx+1−cosx

kx2( 1+xarcsinx + cosx )

=

1

2k

lim

x→0

xarcsinx+1−cosx

x2

＝

3

4k

＝1
∴k＝

3

4

题设相当于已知

lim

x→0

β(x)

α(x)

＝1，由此确定k即可．

本题考点：同阶无穷小、等价无穷小．

考点点评：1．分式有理化，这个技巧应注重，特点是分子或分母出现根式
2．等价无穷小的记忆需熟练