求助离散数学题(群论)

题目

求助离散数学题(群论)
设z为整数集,在z上定义二元运算p,取x,y属于Z,有x p y=x+y-2,那么z与运算p能否构成群?为什么?

答案

1 证明 (a p b) p c = a p (b p c) a,b,c属于z
2 证明存在一个单位元
3 证明a存在逆a-1,使得a p a-1 = a-1 p a = 单位元,（这里a-1指a的逆,写法是a的－1次方）
如果z与运算p满足上面三个条件,那么z与运算p能构成群.
证明如下：
1 对于任意a,b,c属于z,有：
(a p b) p c
=(a＋b-2) p c
=(a+b-2)+c-2
=a+(b+c-2)-2
=a p (b+c-2)
=a p (b p c)
2 易知,存在2属于z,使得对于任意a属于z,有：
2 p a = 2+a-2 = a
a p 2 = a+2-2 = a
既存在单位元2,使得2 p a = a p 2 = a
3 易知,存在a的逆4－a,使得：
a p (4-a) =(4-a) p a = 2
z与运算p满足上面三个条件,所以z与运算p能构成群