lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b

题目

lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b

答案

首先本极限为0/0型,用洛必达法则
由：∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt求导后为：sin²xcosx/(e^b+sin²x)
原式=lim [sin²x/(e^b+sin²x)]/(1-acosx)
由于该极限为1,而分子极限为0,因此分母极限必为0,则a=1
极限化为：lim [sin²x/(e^b+sin²x)]/(1-cosx)
=lim [sin²x/(1-cosx)*lim [1/(e^b+sin²x)]
前一极限用等价无穷小代换,sin²x等价于x²,1-cosx等价于x²/2
=(1/2)e^(-b)
因此得：(1/2)e^(-b)=1解得：b=-ln2
因此a=1,b=-ln2