△ABC三个内角满足方程（sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有两个相等实数根,则：1.求证：∠B≤π/3 2.若∠B取最大值时,试判断△ABC的形状

题目

△ABC三个内角满足方程（sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x+(sinC-sinB)=0有两个相等实数根,则：1.求证：∠B≤π/3 2.若∠B取最大值时,试判断△ABC的形状

答案

(1) 原式=(sinA-sinC)2-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin2A-2sinAsinC+sin2C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin2B+sinAsinB) =(sinA+sinC)2-4sinB(sinA+sinC)+4sin2B=(sinA+sinC-2sinB)2 令上式=0得:2sinB=sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2] 2sinB/2cosB/2=cosB/2cos[(A-C)/2]===>sinB/2=cos[(A-C)/2]/2 ∵0≤(A-C)/2＜90o ∴0＜cos[(A-C)/2]≤1 ∴0＜sinB/2≤1/2,∴0o＜B/2≤30o ∴0o＜B≤π/3 (2) ∠B=π/3=60° cos[(A-C)/2]/2=1/2 A-C=0o A=C 即ΔABC的形状为等边三角形