椭圆C短轴的一个端点与两个焦点F1,F2构成边长为2的正三角形,P为椭圆C上的一点,且l PF1 l - l PF2 l=1,则三角形PF1F2的面积

题目

椭圆C短轴的一个端点与两个焦点F1,F2构成边长为2的正三角形,P为椭圆C上的一点,且l PF1 l - l PF2 l=1,则三角形PF1F2的面积

答案

根据题意可知,椭圆中|F1F2|=2=2c,即c=1
设短轴端点为B,那么|OB|=b,|F1B|=b^2+c^2=a^2=2^2=4
a=2,b=√3
根据椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4
又因为l PF1l - l PF2 l=1,那么解二元一次方程得：|PF1|=5/2,|PF2|=3/2,|F1F2|=2
显然|PF1|^2=|PF2|^2+|F1F2|^2,满足勾股定理
所以△PF1F2为直角三角形,则S(△PF1F2)=1/2|PF2|*|F1F2|=3/2