求直线(x+3)/3=(y+2)/-2=z与平面x+2y+2z=6的交点和交角 有解释就更好

题目

求直线(x+3)/3=(y+2)/-2=z与平面x+2y+2z=6的交点和交角 有解释就更好

答案

在空间中求和线的交点需要用参数式,将参数式假设在平面上
先将直线从比例式转换成参数式
令(x+3)/3=(y+2)/(-2)=z=t
所以
x=3t-3
y=-2t-2
z=t
假设(3t-3,-2t-2,t)在平面上,代入平面
3t-3+2*(-2t-2)+2t=6
t=13
(36,-28,13)
求交角有两个方法,使用投影公式到平面上算两线交角,或是求和法向量的交角後用90度减
这边用法向量的方法
平面的法向量(1,2,2)
线的向量(3,-2,1)
代入内积公式
a内积b=a长度*b长度*Cos(theta)
3-4+2=3*根号14*Cos(theta)
Cos(theta)=1/3根号14
但是要求的是90度-theta
Cos(theta)=Sin(90-theta)=1/3根号14
所求=arcSin(1/3根号14)