求正交变换Y=PX,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准型

题目

求正交变换Y=PX,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准型

答案

二次型f的矩阵A=
0 1 1
1 0 -1
1 -1 0
|A-λE| =
-λ 1 1
1 -λ -1
1 -1 -λ
r1+r2
-λ+1 -λ+1 0
1 -λ -1
1 -1 -λ
c2-c1
-λ+1 0 0
1 -λ-1 -1
1 -2 -λ
= (1-λ)[-λ(-λ-1)-2]
= (1-λ)(λ^2+λ-2)
= (1-λ)(λ+2)(λ-1)
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.
(A-E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,0)',a2=(1,0,1)'.
正交化得 b1=(1,1,0)',b2=(1/2)(1,-1,2)'
单位化得 c1=(1/√2,1/√2,0)',c2=(1/√6,-1/√6,2/√6)'
(A+2E)X=0 的基础解系为:a3=(-1,1,1)'
单位化得 c3=(-1/√3,1/√3,1/√3)'
令P = (c1,c2,c3),则 P 为正交矩阵
正交变换 Y=PX
f = y1^2+y2^2-2y3^2.