空间几何题,求三棱锥体积的

题目

空间几何题,求三棱锥体积的
如图,三棱锥P-ABC中D,E,F分别是PC,PA,PB上的点,且PD=4DC,PE=2EA,PF=FB,设平面ABD、平面BCE、平面CAF交于点O,若V o-abc=1,则Vp-abc=

答案

先做出几何图形（略）；
知：Vp-abc=Vo-abc+Vo-abp+Vo-bcp+Vo-acp ；
Vd-abc=Vo-abc+Vo-bcd+Vo-acd ；(o在面ABD上)
Ve-abc=Vo-abc+Vo-abe+Vo-ace ；(o在面BCE上)
Vf-abc=Vo-abc+Vo-abf+Vo-bcf ；(o在面ACF上)
由PD=4DC,PE=2EA,PF=FB知：PC=5DC,PA=3EA,PB=2FB；
则：Vp-abc=5Vd-abc=3Ve-abc=2Vf-abc；
Vo-abp=3Vo-abe=2Vo-abf；Vo-bcp=5Vo-bcd=2Vo-bcf；Vo-acp=5Vo-acd=3Vo-ace；
故Vo-abc+Vo-abp+Vo-bcp+Vo-acp=5(Vo-abc+Vo-bcp/5+Vo-acp/5)
=3(Vo-abc+Vo-abp/3+Vo-acp/3)
=2(Vo-abc+Vo-abp/2+Vo-bcp/2)
则：Vo-abp=4Vo-abc=4；Vo-bcp=2Vo-abc=2；Vo-acp=Vo-abc=1 ；
故Vp-abc=Vo-abc+Vo-abp+Vo-bcp+Vo-acp=1+4+2+1=8
希望对你有所帮助!