在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2

题目

在△ABC中,C=2A,cos A=3/4,向量BA×向量BC=27/2
（1）求sin C和cos B的值
（2）求边AC的长

答案

（1）
因为cosA=3/4,根据sinA的平方+cosA的平方=1
解得sinA的平方=7/16
因为cosB=cos（π-A-C）,又C=2A
即
cosB=cos（π-3A）
根据三角涵数诱导公式cos（π-a）=-cos a
所以cosB=cos（π-3A）
= - cos3A
= - cos（2A+A）
= - （cos2AcosA-sin2AsinA）
= - [（2cosA的平方-1）cosA-2sinAcosAsinA]
= - [（2*（3/4）的平方-1）*3/4-2*sinA的平方*3/4]
= - （3/32-21/32）
=9/16
sinC=sin(A+B)=cosBsinA+cosAsinB
因为cosA和cosB已知
sinA和sinB
根据 sin2 x+cos2 x=1求
因为是三角形内角
所以为正
（2）
设角A所对的边为a,角B所对的边为b,角C所对的边为c
由正弦定理得：a/sinA=c/sinC
因为C=2A,即
a/sinA=c/sin2A
=c/2sinAcosA
约去sinA,把cosA=3/4代入原式,化简得：
（3/2）a=c……………………①
因为c向量*a向量=27/2
所以有｜a｜*｜c｜*cosB=27/2
所以｜a｜*｜c｜=（27/2）/（3/4）=24……………………②
结合①和②组成方程组,得：
（3/2）a=c
ac=24
解得a=4,c=6（负数舍去）
根据余弦定理可得：
b的平方=a的平方+c的平方-2ac cosB
=4的平方+6的平方-2*24*3/4
=25
所以b=5（负数舍去）
所以AC=5