已知数列{an}的前n项和Sn,且(1-k)Sn=1-kan

题目

已知数列{an}的前n项和Sn,且(1-k)Sn=1-kan
求an、sn

答案

a1=S1,an=Sn-Sn-1.（n大于等于2时）
因为(1-k)Sn=1-kan 解得a1=1,a2=k
并且(1-k)Sn=1-k（Sn-Sn-1）
展开得 Sn=1+kSn-1
应用函数思想：Sn-1=1+kSn-2
两式相减得：Sn-Sn-1=k（Sn-1-Sn-2）即（Sn-Sn-1）/（Sn-1-Sn-2）=k
{Sn+1-Sn}为首项等于k,公比为k的等比数列.
Sn+1-Sn=k∧n
应用函数思想Sn-Sn-1=k∧（n-1）
Sn-1-Sn=k∧（n-2）
……
S2-S1=k
各式相加得Sn-S1=k（1-k∧n-1/(1-k)
即Sn=（1-k∧n）/（1-k）（n大于等于2时）S1=1
an=Sn-Sn-1=[k∧（n-1）-k∧n]/(1-k),a1=1