如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:GF∥AC.
题目
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:GF∥AC.
答案
证明:连接EF.
∵∠BAC=90°,AD⊥BC.
∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°.
∴∠ABC=∠DAC,∠BAD=∠C.
∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线.
∴∠ABG=∠EBD.
∵∠AGE=∠GAB+∠GBA,∠AEG=∠C+∠EBD,
∴∠AGE=∠AEG,
∴AG=AE,
∵AF是∠DAC的平分线,
∴AO⊥BE,GO=EO,
∵
| ∠ABO=∠FBO | BO=BO | ∠AOB=∠FOB=90° |
| |
∴△ABO≌△FBO,
∴AO=FO,
∴四边形AGFE是平行四边形,
∴GF∥AE,
即GF∥AC.
从角的角度证明困难,连接EF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.
平行四边形的判定与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判定与性质.
此题主要考查平行四边形的判定与性质,三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用.
举一反三
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