已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x),则不等式ef(x)>f(1)ex的解集是_.

已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x),则不等式ef(x)>f(1)ex的解集是_.

题目
已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x),则不等式ef(x)>f(1)ex的解集是______.
答案
令g(x)=f(x)ex,则g′(x)=ex•f′(x)-ex•f(x)e2x=ex(f′(x)-f(x))e2x,因为f'(x)>f(x),所以g′(x)>0,所以,函数g(x)=f(x)ex为(-∞,+∞)上的增函数,由ef(x)>f(1)ex,得:f(x)ex>f(1)e,即g...
由题目要求解的不等式是ef(x)>f(1)ex,变性后得:
f(x)
ex
f(1)
e
,由此想到构造函数g(x)=
f(x)
ex
,求导后结合f'(x)>f(x),可知函数g(x)是实数集上的增函数,然后利用函数的单调性可求得不等式的解集.

导数的运算;其他不等式的解法.

本题考查了导数的运算法则,考查了不等式的解法,解答此题的关键是联系要求解的不等式,构造出函数g(x)=

f(x)
ex
,然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号,得到该函数的单调性.此题是中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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