数列an满足a1=2,a(n+1)=an^2-n*an+1(n属于N*),(1)写出数列的前5项 (2)猜想并证明数列的通项公式

题目

数列an满足a1=2,a(n+1)=an^2-n*an+1(n属于N*),(1)写出数列的前5项 (2)猜想并证明数列的通项公式
通项公式是不是an=n+1,但是为什么我证明不了

答案

(1)
a1=2
a2=a1²-1×a1+1=4-2+1=3
a3=a2²-2×a2+1=9-6+1=4
a4=a3²-3×a3+1=16-12+1=5
a5=a4²-4×a4+1=25-20+1=6
(2)
猜想：an=n+1
证：
假设当n=k (k∈N+且k≥1)时,ak=k+1
则当n=k+1时,
a(k+1)=ak²-k×ak+1
=(k+1)²-k(k+1)+1
=k²+2k+1-k²-k+1
=k+2
=(k+1)+1
同样成立.
综上,得an=n+1
用数学归纳法很容易证明的.