如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,CF⊥BE交BD于点G,F是垂足.求证:四边形ABGE是等腰梯形.
题目
如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,CF⊥BE交BD于点G,F是垂足.求证:四边形ABGE是等腰梯形.
答案
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,BO=CO,
∠ABO=∠ABE+∠EBO=45°,
∠BCO=∠BCG+∠GCO=45°,
∵CF⊥BE,
∴∠BEC+∠GCO=90°,
∵AC⊥BD,
∴∠EBO+∠BEC=90°,
∴∠EBO=∠GCO,
∴∠ABE=∠BCG,
在△ABE和△BGC中,
| ∠ABE=∠BCG | ∠BAC=∠OBC=45° | AB=BC |
| |
∴△ABE≌△BGC,
∴AE=BG,
∴EO=GO,
∠OEG=∠OAB=45°
∴EG∥AB
∴AE=BG,
∴四边形ABGE是等腰梯形.
结合题意,欲证四边形ABGE为等腰梯形,即证EG∥AB和AE=GB;通过分析,只要证明△ABE≌△BGC,即可得出AE=BG,即OE=OG,即证EG∥AB,即证四边形ABGE是等腰梯形.
等腰梯形的判定;正方形的性质.
本题主要考查了全等三角形的性质和等腰梯形的判定,解决本题的关键就是证明△ABE≌△BGC,从而可推出四边形ABGE是等腰梯形.
举一反三
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