在三角形ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知 cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0 求角B的大小,若a+c=1,求b的取值范围

题目

在三角形ABC中,角A.B.C所对的边分别为a,b,c,已知 cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0 求角B的大小,若a+c=1,求b的取值范围

答案

∵cosC＋（cosA－√3sinA）cosB＝0,
∴－cos（A＋B）＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0,
∴－cosAcosB＋sinAsinB＋cosAcosB－√3sinAcosB＝0,
∴sinA（sinB－√3cosB）＝0,∴sinB－√3cosB＝0,∴tanB＝√3,∴B＝60°.
由余弦定理,有：
b^2＝a^2＋c^2－2accosB＝（a＋c）^2－3ac.······①
显然有：a＋c≧2√（ac）,∴（a＋c）^2≧4ac,∴（3/4）（a＋c）^2≧3ac.······②
①＋②,得：b^2＋（3/4）（a＋c）^2≧（a＋c）^2,∴b^2≧（1/4）（a＋c）^2＝1/4,
∴b≧1/2.
显然有：b＜a＋c＝1,∴1/2≦b＜1.
∴满足的条件的b的取值范围是［1/2,1）.