如图，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上AB任意一点（不与点A、B重合），连接AB、AC、BC、OC． （1）指出图中与∠ACO相等的一个角； （2）当点C在⊙P上什么位置

题目

如图，⊙P与⊙O相交于A、B两点，⊙P经过圆心O，点C是⊙P的优弧上

AB

任意一点（不与点A、B重合），连接AB、AC、BC、OC．

（1）指出图中与∠ACO相等的一个角；
（2）当点C在⊙P上什么位置时，直线CA与⊙O相切？请说明理由；
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径有怎样的大小关系？请说明你的理由．

答案

（1）连接OA，OB．
在⊙O中，∵OA=OB，
∴

OA

=

OB

，
∴∠ACO=∠BCO；
（2）连接OP，并延长与⊙P交于点D．
若点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切
理由：连接AD，OA，则∠DAO=90°
∴OA⊥DA
∴DA与⊙O相切
即点C在点D位置时，直线CA与⊙O相切．
（3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等；
理由：作直径OD，连接BD，AD，OA，
∵∠ADB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴

AO

=

BO

，
∵∠ADO=∠BDO，
∴∠ADO=30°，
∵OD是直径，
∴∠DAO=90°，
∴OA=

1

2

OD，
∴OA=PO，
∴当∠ACB=60°时，两圆半径相等．

要使直线CA与⊙O相切，只要证得∠OAC=90°即可；根据第二问第三问就不难求得了．

本题考点：切线的判定；圆周角定理．

考点点评：本题考查了等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°，切线的判定等知识．具有一定的综合性和难度．