如图,已知M在三角形ABC内一点,且角BMC=90度+角BAC,有直线经过三角形BMC的外接圆的圆心O

题目

如图,已知M在三角形ABC内一点,且角BMC=90度+角BAC,有直线经过三角形BMC的外接圆的圆心O
,证明点M是△ABC内切圆的圆心

答案

证明：如图,设∠BAC=2α,则∠BMC=90°+α,
∠BOC=2∠BPC=2（180°-∠BMC）=2[180°-（90°+α）]=180°-2α,
∴∠BAC+∠BOC=180°,∴A、B、O、C四点共圆,
于是∠ABC=∠AOC=2∠MPC,
∵∠MPC=∠MBC,∴∠ABC=2∠MBC,
即
1
2
∠ABC=∠MBC,∴BM平分∠ABC．
同理可证CM平分∠ACB,
∴点M是△ABC的内心．