已知a大于0,sinx/x在零到正无穷上积分为pi/2.求sin(ax)/x(1+x^2)在零到正无穷上积分的值
题目
已知a大于0,sinx/x在零到正无穷上积分为pi/2.求sin(ax)/x(1+x^2)在零到正无穷上积分的值
答案
运用留数求解该广义积分
I=1/2∫(-∞,+∞)sin(ax)/[x(1+x^2)]dx
=1/2Im∫(-∞,+∞)e^(iax)/[x(1+x^2)]dx
=1/2Im{πiRes[f(z),0)]+2πiRes[f(z),i]}
=π/2[1-e^(-a)]
其中 f(z)=e^(iaz)/[z(1+z^2)]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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