已知圆上一条直径AB,点C在圆上,O为圆心,OC^2=AC*BC,求角ABC的度数?

题目

已知圆上一条直径AB,点C在圆上,O为圆心,OC^2=AC*BC,求角ABC的度数?

答案

OC²=AC*BC ……(1)
AC² +BC²=AB²=4OC²
(1)×4:4OC²=4AC*BC===>AC²+BC²=4 AC*BC
整理得AC²+BC²－4 AC*BC=0
∴AC=（2+√3)BC,或AC=（2-√3)BC
设 1.BC=X,AC=（2+√3）X ,AB=(√2+√6)X
2.BC=X,AC=（2-√3）X,AB=(√6+√2)X
∴1.sinB=（2+√3）/(√2+ √6)=(√6+√2)/4====>B=75º
2.sinB=(2－√3）/(√6－√2)=(√6-√2)/4====>B=15º
∴∠ABC=75º或15º