设过抛物线x^2=2py (p>0) 对称轴上的定点F（0,m) (m>0)作直线AB与抛物线交于A,B两点,

题目

设过抛物线x^2=2py (p>0) 对称轴上的定点F（0,m) (m>0)作直线AB与抛物线交于A,B两点,
且A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),相应于点F的直线l:y=-m称为抛物线的“类准线”
（1） 若x1x2=-4m,求抛物线方程
（2）过点A(x1,y1)作“类准线”l:y=-m的垂线,垂足为A1,求证：A1,O,B三点共线（O为坐标原点）
（3）若点M是“类准线”L上的任一点,记直线MA,MB,MF的倾斜角依次为,D,E,F 试探求D,E,F余切之间的关系式,并给出证明.

答案

（1）.设AB的方程：y=kx+m ,代入抛物线方程得：x^2-2pkx-2pm=0
x1x2=-2pm=-4m,p=2 ,故抛物线方程是：x^2=4y
（2）.A1(x1,-m),O(0,0),B(x2,x2^2/4) ,k(OB)=x2/4 ,k(OA1)=-m/x1=(x1x2/4)/x1=x2/4
k(OB)=k(OA1) ,故：A1,O,B三点共线
（3） .设M(x0,-m) ,当x0=0时,cotE=0,tanD=k(MA)=(y1+m)/x1=(x1^2+4m)/4x1,
tanF=k(MB)=(y2+m)/x2=(x2^2+4m)/4x2
cotD+cotF=...=0 ,cotD+cotF=cotE
当x0不等于0时,同理可得