将四个半径为一的完全相同的球体完全装入一个正四面体中,求该正四面体的高的最小值

题目

将四个半径为一的完全相同的球体完全装入一个正四面体中,求该正四面体的高的最小值
请说明如何相似得到AA1

答案

正四面体要用最少的空间放进4个小球,则四个小球必定是三个在下一个在上,且四个小球两两相切,所以他们的球心构成正四面体结构(四面体的棱长为2).
你画一下这个图后可以发现着两个正四面体对应边平行,这样这个问题就简单化了,算得步骤如下
(1)高的最小值就为小正四面体的高+小球的半径+两正四面体对应顶点间的距离(能理解么?最好自己化个图试试看)[既H+R+AA1]
(2)小四面体为A-BCD,大四面体为A1-B1C1D1.
过A点做A1B1C1的高 交于D点(所以AD就等于半径1) 根据相似可得AA1=3
(3)求出小正四面体的高,步骤略.算出来得H=(2/3)^0.5
(4)综上 最小高的值为H+R+AA1=(2/3)^0.5+4
好累啊 ,