已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,而且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+1/f(x)在(0,3)上是增函数还是减函数,并加以证明.
题目
已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,而且f(x)>0,f(3)=1.判断
g(x)=f(x)+
答案
函数g(x)在(0,3)上是减函数.
证明如下:任取0<x
1<x
2≤3,
则
g(x1)−g(x2)=[f(x1)+]−[f(x2)+]=[f(x1)−f(x2)][1−].
∵f(x)在(0,+∞)是增函数,∴f(x
1)-f(x
2)<0.又f(x)>0,f(3)=1,
∴0<f(x
1)<f(x
2)≤f(3)=1,
∴0<f(x
1)•f(x
2)<1,
>1,
1−<0.
∴g(x
1)-g(x
2)>0,即g(x
1)>g(x
2)
由此可知,函数
g(x)=f(x)+在(0,3)上是减函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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