正定矩阵的问题

题目

正定矩阵的问题
一个正定矩阵,为什么它的主对角线上的各个元素都是大于零的,请给出证明?

答案

设A＝（a（ij））为n阶的正定矩阵,按定义,对于任意非零n元列x,都有
x’Ax＞0．
（这里x’表示x的转置）
特别地取x＝（0,……,1,……0）’（就是说,第i个分量为1,其余分量全为0的n元列）,由上式就得到
a（ii）＞0 （i＝1,……,n）
从而所需结论得证.