高手帮忙解个多元函数微分学的题

题目

高手帮忙解个多元函数微分学的题
x^2 + y^2+z^2=4*z,求z对x的偏导数,z对y的偏导数?

答案

两种方法：
1.直接利用微分法：
对等号左侧取微分：
d(x^+y^+z^)=d(x^)+d(y^)+d(z^)=2x*dx+2y*dy+2z*dz ①
等号右侧也取微分：
d(4z)=4*dz ②
两式联立,得：
2xdx+2ydy+2zdz=4dz
dz=[x/(2-z)]*dx + [y/(2-z)]*dy
由偏导公式：z=z(x,y),则dz=(эz/эx)*dx + (эz/эy)*dy
可得到：
эz/эx=x/(2-z),эz/эy=y/(2-z)
（z我就不用原式代换了）
2.分别求x,y的偏导：
x^+y^+z^=4z
同时对等式两侧取x的偏导,则y则是当做常数处理：
э(x^+y^+z^)/эx=э(4z)/эx
э(x^)/эx + э(y^)/эx + э(z^)/эx = 4*(эz/эx)
2x + 0 + [э(z^)/эz] *(эz/эx) =4*(эz/эx)
2x + 2z*(эz/эx)=4*(эz/эx)
эz/эx=x/(2-z)
同理,采取相同方法对等式两侧取y的偏导,最后可得出：
эz/эy=y/(2-z) （过程完全一样,只是把x换成y,我就不再写了!）