已知数列 a (n) = [(2 * 3^n ) + 2] / (3^n - 1)

题目

已知数列 a (n) = [(2 * 3^n ) + 2] / (3^n - 1)
1.求数列a (n)的最大项
2.设b (n) =[a (n) + p] / [a (n)-2],试确定实常数p,使得{b (n)}为等比数列
3.设m、n、p 属于正整数,m

答案

(1)
an=2×(3^n-1+2)/(3^n-1)=2+4/(3^n-1)
显然an单调递减,故(an)max=a1=4
(2)
an+p=[(2+p)×3^n+(2-p)]/(3^n-1)
an-2==4/(3^n-1)
bn=(An+p)/(An-2)=[(2+p)×3^n+(2-p)]/4
则p=2或-2时bn为等比数列
(3)假设存在这样的m,n,p(m＜n＜p)满足题意.
则1/(3^m-1)+1/(3^p-1)=2/(3^n-1)
通分化简：
即3^(n+p)+3^(n+m)+3^m+3^p=2(3^n+3^(m+p))
即3^(n+p-m)+3^n+3^(p-m)+1=2(3^(n-m)+3^p)
即3^(n+p-m-1)+3^(n-1)+3^(p-m-1)-2*3^(n-m-1)-2*3^(p-1)=-1/3 .(*)
因为m,n,p属于正整数,且m＜n＜p,
故n+p-m-1、n-1、p-m-1、n-m-1、p-1均为大于等于0的整数,
也即 (*)式左边为整数,而右边=-1/3不为整数.
所以(*)式不成立,与假设矛盾.
所以不存在三项am,an,ap,使得数列am,an,ap是等差数列.