如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证： （1）AM平分∠DAB； （2）DM⊥AM．

题目

如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．

答案

（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，
∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=

1

2

∠CDA，∠3=

1

2

∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即DM⊥AM．