已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x),f(3+x)=f(3-x),试判断函数的周期性和奇偶性.
题目
已知函数f(x)对一切实数x都有f(2+x)=f(2-x),f(3+x)=f(3-x),试判断函数的周期性和奇偶性.
答案
根据f(2+x)=f(2-x),f(3+x)=f(3-x)
,令x=1得到f(1)=f(3),f(2)=f(4);
令x=2得到f(1)=f(5),f(0)=f(4),可得函数的周期为2;
因为函数的周期为2,则f(x+2)=f(x),f(2-x)=f(-x)即f(x)=f(-x),
故函数为偶函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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