设Sn为数列{an}的前n项和,且对于任何的正实数都成立,都有Sn=n^2/2+an/2.求数列{a}的通项公式

题目

设Sn为数列{an}的前n项和,且对于任何的正实数都成立,都有Sn=n^2/2+an/2.求数列{a}的通项公式

答案

Sn=n^2/2+an/2
S1=a1=1/2+a1/2,得到a1=1
n>=2,an=Sn-S(n-1)=n^2/2+an/2-(n-1)^2/2-a(n-1)/2=n-1/2+an/2-a(n-1)/2
即有an+a(n-1)=2n-1,a2+a1=3,a2=2
an-n=-[a(n-1)-(n-1)]
即数列{an-n}是一个首项是a1-1=0的等比数列,即有an-n=0
故有an=n.