O为正方形ABCD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG,已知△BCE全等于△DCF .已知若GE*GB= 4-2倍的根号2求正

题目

O为正方形ABCD的中点,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G,连接OG,已知△BCE全等于△DCF .已知若GE*GB= 4-2倍的根号2求正方形的 面积

答案

已知：如图,O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连结DF,交BE的延长线于点G,连结OG.

（1） 试说明：△BCE≌△DCF；
（2） OG与BF有什么数量关系?说明你的理由；
（3） 若GE•GB＝4－ ,求正方形ABCD的面积.
【思考与分析】 （1）要说明△BCE和△DCF全等,我们只要结合题意,根据四边形ABCD为正方形,即可得；（2）要求OG和BF的关系,我们知道O是BD的中点,因此我们只要知道点G在DF的什么位置,问题即可得解；（3）看图我们可知道GE和GB在两个不同的三角形中,但是这两个三角形相似,因此我们可根据相似建立等量关系来解.
（1） 在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCD＝90°.
因为 ∠DCF=∠BCD=90°,CF=CE,
所以 △BCE≌△DCF.
（2） OG= BF.
事实上： 由 △BCE≌△DCF,得到∠EBC=∠FDC.
因为 ∠BEC=∠DEG,
所以 ∠DGE=∠BCE,即 BG⊥DF.
因为 BE平分∠DBC,BG=BG,
所以 △BGF≌△BGD.
所以 BD=BF,G为DF的中点.
因为 O为正方形ABCD的中点,
所以 O为BD的中点.所以 OG= BF.
（3） 设BC=x,则DC=x,BD= x.
由（2）,得BF＝BD= x.
所以 CF=BF-BC=（ －1）x.
在Rt△DCF中,

因为 ∠GDE=∠GBC=∠GBD,∠DGE=∠BGD=90°,
所以 △DGE∽△BGD,所以
即DG2=GE•GB=4-2 .
因为 DF=2DG,
所以 DF2=4DG2=4（4－2 ）. ②
由①,②两式,得 x2+（ －1）2x2＝4（4－2 ）.
解得 x2＝4.
所以正方形ABCD的面积为4.
应该是这个吧