求解高中不等式加函数的题

题目

求解高中不等式加函数的题
已知函数F(x)=e^x－1,(x>0),0F-1(q)－F-1(p)

答案

反函数为F-1(x)=ln(x+1)
即证：e^(q-p)>ln(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1)
即证：lne^e^(q-p)>ln(q-p+1)>ln(q+1)/(p+1)
即证：e^e^(q-p)>(q-p+1)>(q+1)/(p+1)
先证：e^e^(q-p)>(q-p+1)
设y=e^e^x-(x+1) 其中x=q-p>0
y'=e^e^x*e^x-1
很显然x=>0
y'>0,y为单增
x=0时,y>0
所以e^e^(q-p)>(q-p+1)
再证：(q-p+1)>(q+1)/(p+1)成立
必证：(q-p+1)(p+1)>q+1成立
必证：pq-p^2>0成立
必证：p(q-p)>0成立
很显然由0(q+1)/(p+1)
所以F(q－p)>F-1(q－p)>F-1(q)－F-1(p)