求不定积分∫secx dx 用t=tan (1/2)x

题目

求不定积分∫secx dx 用t=tan (1/2)x
求证
∫secx dx=ln|tan(1/4 派+1/2 x)|+C=ln|secx+tanx|+C
我算到∫2/(1-t^2) dx=∫1/(1+t)+1/(1-t) dx=ln|1+t|+ln|1-t| 然后算不下去了

答案

t = tan (x/2),x = 2 arctant,dx = 2 dt /(1+t^2),secx = (1+t^2) / (1-t^2)
原式= ∫2/(1-t^2) dt = ∫ [ 1/(1+t) +1/(1-t) ] dt 注意这里：∫ 1/(1-t) dt = - ln|t-1| + C
= ln|1+t| - ln|1-t| + C = ln (|1+t| / |1-t| ) + C
= ln| tan(π/4 派+x/2)|+C
= ln|secx+tanx|+C