设a>1,证明当x>0时,不等式(1+x)^n>1+ax成立

题目

设a>1,证明当x>0时,不等式(1+x)^n>1+ax成立

答案

题中n应该是a,否则不一定成立.
设　f（x）＝（1＋x）＾a　－　1－ax,　f是x＞＝0上的连续函数.
f＇（x）＝a（1＋x）＾（a－1）－a＞a－a＝0
即函数在x＞0上面严格递增.
又f（0）＝0.
所以　当x＞0时,　f（x）＞0,　即　（1＋x）＾a＞1＋ax