在数列{An}中,a1=1,An+1=cAn+c^n+1(2n+1)(n∈N+),其中实数c≠0

题目

在数列{An}中,a1=1,An+1=cAn+c^n+1(2n+1)(n∈N+),其中实数c≠0
(1)求{An}的通项公式
(2)若对一切k∈N+,有a(2k)>a(2k-1),求c的取值范围.
以上、

答案

在递推公式
A(n+1)=cAn+[c^(n+1)]*(2n+1)中
两边都除以c^(n+1)有
[A(n+1)]/[c^(n+1)]=[An]/[c^(n)]+2n+1
于是相似地,可以写出
[An]/(c^n)=A(n-1)/c^(n-1)+2n-1
A(n-1)/c^(n-1)=A(n-2)/c^(n-2)+2n-3
...
A2/c^2=A1/c+3
累加上述数式得到
An/c^n=A1/c+n^2-1
→
An=[c^(n-1)]+(n^2-1)*[c^n]
A(2k)-A(2k-1)
=[c^(2k-2)][(4c^2-4c)k^2+4ck-c^2+c-1]
c^(2k-2)=[c^(k-1)]^2＞0成立
故需二次项系数
4c^2-4c＞0
→c＜0或c＞1