可微是可导的充要条件,这是怎么证明的?

题目

可微是可导的充要条件,这是怎么证明的?

答案

必要性：设f(x)在点x0处可微,由定义：
△y=f(x0+△x)-f(x0)=A△x+o(△x)
于是
(f(x0+△x)-f(x0))/△x=A+o(△x)/△x
令△x→0,得f'(x0)=A,所以f(x)在x0处可导
充分性：设f(x0)在x0处可导,有：
f'(x0)=lim（△x→0)(△y/△x)
由极限的性质：
(△y/△x)=f'(x0)+a(△x)
其中lim（△x→0)(a△x)=0,从而
△y=f'(x0)△x+a(△x)△x
因为lim（△x→0)(a(△x)△x/△x)=lim（△x→0)(a△x)=0
所以△y=A△x+o(△x)
其中A=f'(x0),因此f(x)在x0处可微,且
dy(x0)=A△x=f'(x0)△x