已知函数y＝2/x−1，x∈[2，6]．试判断此函数在x∈[2，6]上的单调性并求此函数在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

题目

已知函数y＝

2

x−1

，x∈[2，6]

答案

设x₁、x₂是区间[2，6]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1−1

−

2

x2−1

=

2[(x2−1)−(x1−1)]

(x1−1)(x2−1)

=

2(x2−x1)

(x1−1)(x2−1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数y=

2

x−1

是区间[2，6]上的减函数．
因此，函数y=

2

x−1

在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x=2时，y_max=2；当x=6时，y_min=

2

5

．