已知,如图,三角形ABC中,角ABC=45度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC 且BE垂直AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点

题目

已知,如图,三角形ABC中,角ABC=45度,CD垂直AB于D,BE平分角ABC 且BE垂直AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点
链接DH与BE相较于点C(1)求证：BF=AC(2)求证：CE=½BF(3)试判断△DGF是等腰三角形么
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T-T

答案

1、∵CD⊥AB,即∠BDC=90°
∠ABC=∠DBC=45°
∴△BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD
∵BE⊥AC即∠CEF=∠BDF=90°
∠CFE=∠BFD(对顶角）
∴∠FBD=∠ECF(余角相等）
∵BD=CD,∠CDA=∠BDF=90°
∴△ACD≌△BDF(ASA)
∴BF=AC
2、∵BE平分∠ABC 且BE⊥AC
∴∠CBE=∠ABE,∠BEA=∠BEC=90°
∵BE=BE
∴△BEC≌△BEA(ASA)
∴CE=AE=1/2AC
∴BF=1/2AC
3、∵△BCD是等腰直角三角形
H是BC边的中点
∴∠FDG=∠CDH=∠BDH=45°
∵BE平分∠ABC ,∠ABC=45°
∴∠DBG=∠ABE=45°/2=22.5°
∴∠FGD=∠DBG+∠BDH=22.5+45°=67.5°
∴∠DFG=180°-∠FDG-∠FGD=180°-45°-67.5°=67.5°
∴∠DFG=∠FGD
∴△DGF是等腰三角形