长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大

题目

长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大

答案

把椭圆形方程变为标准形式：
X^2/2^2+y^2=1
这是一个长半轴为2在X轴上,短半轴为1在Y轴上的椭圆.
设椭圆上一点M(x,y)则有
y=根号(1-x^2/4)
以M为顶点,x为一边y为另一边的矩形面积S为
S=xy=x根号（1-x^2/4)=根号(x^2-x^4/4)
对S求导得（2x-x^3）/2根号（x^-x^4/4）
令其为0
则有x=0:x=根号2两个解.
当x=根号2时这个矩形面积最大.
此时y=根号2/2
这是椭圆形内接长方形的四分之一
所以当内接长方形的长为2根号2（X方向）阔为根号2（Y方向）时,长方形有最大面积=4