如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为┅( ) A.23 B.2−23 C.3 D.8+2−
题目
如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为┅( )
A. 2
B.
−2C. 3
D.
8+2−2+1
答案
连接BD,交AC于O,
∵正方形ABCD,
∴OD=OB,AC⊥BD,
∴D和B关于AC对称,
则BE交于AC的点是P点,此时PD+PE最小,
∵在AC上取任何一点(如Q点),QD+QE都大于PD+PE(BE),
∴此时PD+PE最小,
此时PD+PE=BE,
∵正方形的面积是12,等边三角形ABE,
∴BE=AB=
=2
,
即最小值是2
,
故选A.
连接BD,交AC于O,根据正方形的性质推出D和B关于AC对称,则P在BE和AC的交点上时,PD+PE最小,根据正方形的面积求出BE即可.
轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质;正方形的性质.
本题考查了正方形的性质,等边三角形的性质,轴对称-最短路线问题等知识点的应用,关键是找出PD+PE最小时P点的位置,题型较好,难度适中.
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